公務員試験の数的推理の速度算（旅人算）の公式や例題、解法【頻出分野】

公務員試験では、多くの場合、教養試験（基礎能力試験）の科目の一つとして数的処理が出題されます。数的処理は次の３つの分野に細分化できます。

特に出題数が多いのは判断推理と数的推理です。いずれも予備校での学習や、参考書（「スー過去」や「解きまくり」）を用いた独学で対策をしておくことが必要です。この記事で扱うのは、このうち数的推理の中でも特に頻出である「速さ」の問題です。

数的推理は伸びにくい科目

そもそも、数的推理や判断推理は、公務員試験の中でも伸びにくい科目です。時間をかけたからといって、確実なリターンを得られるわけではありません。

このサイトでは繰り返しお伝えしているように、数的処理でそこそこの点数を取った上で、法学系科目や経済系科目、そのほかの学系科目で差をつけることが合格への近道といえます。したがって、「そこそこの点数」を楽して取るという戦術、すなわち取捨選択が重要になるというわけです。

幸い、数的推理は出題されやすい分野とそうでない分野、コストパフォーマンスの高い分野とそうでない分野があります。このサイトでは、特に頻出な分野として、「速さ」と「濃度」を取り上げています。

この記事では頻出の分野として「速さ」について取り上げますが、コストパフォーマンスの高い分野として「濃度」についても解法等をまとめていますので、よろしければ以下の記事をご覧ください。

他に頻出な分野として「確率」と「場合の数」と「最小公倍数」等がありますが、一般的な数学の勉強で足りるものであり、本サイトで特に有益な解法等を示せるわけではないため、この記事では取り上げておりません。

「速さ」の数的推理の問題のポイント

「速さ」の問題は、国家総合職、国家一般職、地方上級、東京都、特別区、市役所等、ありとあらゆる公務員試験で頻出です。複数の試験種を受験する場合は、まず間違いなく一度以上は実戦で出会うことになるので、以下のポイントを必ず押さえておきたいです。

ポイント１：速さの基本公式

まず、念のためですが、小学校の算数で習っているはずの、速さの基本公式を掲示しておきます。いわゆる「はじき」の公式ですね。

ポイント２：旅人算の公式

公務員試験の速さの問題でよく問われるものとして「旅人算」があります。これは、速さの異なる二人について、速さ、時間、距離を求めるものです。「Ａさんが出発したあと、５分遅れてＢさんが出発した。Ｂさんは出発地から〇kmのところでＡさんに追いついた」といったような問題です。

このように、速さの異なる二人が問題に出てきた場合、以下の二つのいずれかの公式が使える場合が多いです。

いずれも公務員試験の速さの問題ではかなり重要です。また、ＡとＢが人ではないというパターンも多く出題されます。たとえば、ＡとＢが列車で、すれ違うまでの時間を求めるような問題も頻出ですが、本質は同じなので以上の式を用いれば解答に辿りつけることが多いです。

例題

続いて、例題を二つ紹介します。

例題１：旅人算の問題

まずは、典型的な旅人算の良問です。実際に特別区Ⅰ類で出題された問題ですが、多くの試験種で頻出のパターンです。解法は筆者のオリジナルです。

このような旅人算の問題が出てきた瞬間に、上掲の公式のいずれかを使うんだなというイメージを持っていただければベストです。

旅人算の公式として２つを紹介しましたが、今回使うのはどちらのパターンでしょうか。設問を見ると、ａとｂが「同じ向きに同時に走り出す」とあり、「逆向きに同時に走り出す」ともあるため、２つの両方を用いることができるということが分かります。

旅人算の２つの公式を用いればよいという方針が分かりましたが、公式を用いようにも、設問を見ると具体的なａとｂの速さが与えられていないため、ここで、ａの速さをＡ、ｂの速さをＢと置くこととします。そうすると、旅人算の２つの公式から、このコースの距離（５km）を次のように表現できます。なお、設問に合わせ、時間の単位は「分」とします。

• コースの距離を、ａとｂが同方向に走る場合で表現する式：
  ５＝（ａの速さ－ｂの速さ）×移動時間
  ５＝（Ａ－Ｂ）×15
  ５＝15Ａ－15Ｂ　…… ①
• コースの距離を、ａとｂが逆方向に走る場合で表現する式：
  ５＝（ａの速さ＋ｂの速さ）×移動時間
  ５＝（Ａ＋Ｂ）×３
  ５＝３Ａ＋３Ｂ　…… ②

これで２文字・２式が完成したため、あとは簡単です。①と②を連立させるなり、①を②に代入させるなどすると、「Ａ＝１」と得られるため、ａの速さは分速１kmだと分かります。

答えは「３：1.0km／分」です。

例題２：登場人物が３名の問題

もう一つ、次の例題とその解法をご覧ください。実際に地方上級で出題された問題です。こちらも解法は筆者のオリジナルです。

基本公式を使って方程式を作っていくことで、解に辿りつくという方針は先ほどと同じです。問題に出てくる登場人物は二人であることが多いので、２文字を使って２式を作り、連立させることで解を導くような問題が多いです。一方、本問の特徴は、登場する人物が３人いるということです。この時点で、「３文字・３式を使って解くのかな」と想像できます。

そこで、とりあえずＡの速さをｘ（km／ｈ）、Ａの所要時間をｙ（時間）、Ａの移動距離をｚ（km）と置きます。

（補足）

（例えば、「距離＝速さ×時間」であるため、Ａの移動距離ｚはｘｙとも表すこともできます。このようにすれば２文字で足りるのですが、このように登場人物が３人居るときは、このように３文字を使ってしまった方が手っ取り早いことも多いです。）

続いて、Ｂについて見ていきます。「ＢはＡより６km遅く」という設問の記述から、Ｂの速さはｘ－６（km）と表せます。また、「所要時間はＢはＡより30分長く」という設問の記述から、Ｂの所要時間はｙ＋0.5（時間）と表せます。また、Ｂを含む３人の移動距離はすべて等しいため、Ｂの移動距離はＡと同じくｚ（km）です。

同様に、Ｃの速さはｘ＋12（km）、Ｃの所要時間はｙ－0.5（時間）、Ｃの移動距離はｚと表せます。

ここまでを整理すると、以下の表のとおりとなります。

登場人物	速さ（km／ｈ）	時間（時間）	距離（km）
Ａ	ｘ	ｙ	ｚ
Ｂ	ｘ－６	ｙ＋0.5	ｚ
Ｃ	ｘ＋12	ｙ－0.5	ｚ

ここまで整理できたら、あとは簡単です。今回は文字を３つ使ったため、何でもいいので３つの式を立式すれば、ｘ、ｙ、ｚの値を求めることができます。やり方は無数にありますが、今回は、「距離＝速さ×時間」の基本公式を使って、Ａ、Ｂ、Ｃのそれぞれの移動距離について以下のとおり立式することとします。

• Ａの移動距離：ｚ＝ｘｙ
• Ｂの移動距離：ｚ＝（ｘ－６）（ｙ＋0.5）
• Ｃの移動距離：ｚ＝（ｘ＋12）（ｙ－0.5）

あとは、この３つの式について、連立方程式にするなり、代入するなりすれば値を求められます。念のため導出過程を書くと以下のようになります。

以上から、Ａの所要時間は1.5時間、すなわち１時間30分だと分かります。

答えは「３：１時間30分」です。

学習にあたっては予備校の活用するか、参考書で独学するか

いかがでしたでしょうか。速さの例題として２つを紹介しましたが、実際には、これら以外の出題パターンのものも多く見受けられます。

本サイトでは数的処理に大きく時間をかけすぎる必要はないという立場をとっておりますが、多少の対策は必要です。数的処理の対策にあたっては、予備校を活用することがおすすめです。あるいは、独学の場合は、参考書（「スー過去」や「解きまくり」）を使って頻出分野だけでも主な解法を押さえておくことが重要です。